Sierpinski Gasket

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在數學的廣闊領域中，分形幾何以其獨特的自相似性和無限的複雜性吸引了無數人的目光。其中，Sierpinski Gasket（謝爾賓斯基三角形） 作為分形幾何中的經典代表，展現了簡單規則下蘊藏的無限美麗。今天，我們將深入了解 Sierpinski Gasket，探索其構造方法、數學性質及其在現實中的應用。

Sierpinski Gasket Triangle

什麼是 Sierpinski Gasket？

Sierpinski Gasket，又稱謝爾賓斯基三角形，是由波蘭數學家瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基（Wacław Sierpiński）在 1915 年提出的分形結構。

Sierpinski Gasket 的建立方法

建立 Sierpinski Gasket 的方法有多種，其中最直觀的是迭代法。以下是常見的兩種構造方式：

1. 移除中間三角形法

初始形狀：從一個等邊三角形開始。
第一次迭代：將初始三角形分割成四個小的等邊三角形，移除中間的那個。
後續迭代：對剩下的每一個小三角形重複上述步驟，逐步移除每個小三角形的中間部分。

隨著迭代次數的增加，剩餘的圖形越來越接近 Sierpinski Gasket，展示出其獨特的蜂窩狀結構。

2. 遞迴定義法

Sierpinski Gasket 也可以透過遞迴函數來定義，每一層的圖形都是前一層的自相似縮小版本。這種方法在電腦繪圖中特別常用，能夠高效地生成複雜的分形圖案。

Sierpinski Gasket 的數學性質

Sierpinski Gasket 不僅在視覺上令人嘆為觀止，其數學性質也同樣令人著迷：

自相似性：無論從哪個尺度觀察，Sierpinski Gasket 都呈現出相似的結構。
分形維數：Sierpinski Gasket 的分形維數約為 1.585，比一維線段大，但小於二維平面，反映出其複雜的幾何結構。
無窮細節：隨著迭代次數的增加，圖形的細節變得無限豐富，無法用有限的幾何圖形完全描述。

Sierpinski Gasket 的應用

儘管 Sierpinski Gasket 起源於純數學研究，但其獨特的結構在多個領域中找到了應用：

電腦圖形學：用於生成複雜的圖案和紋理，提升圖形的細節和真實感。
藝術與設計：其獨特的視覺效果常被應用於裝飾藝術、建築設計等領域，創造出引人入勝的視覺作品。
自然界中的類似結構：類似的分形結構在自然界中也屢見不鮮，如某些植物的葉脈結構、雪花的形態等，展示了分形幾何在自然界中的普遍性。

如何繪製 Sierpinski Gasket

繪製 Sierpinski Gasket 的過程不僅能幫助我們更好地理解其構造原理，還能鍛鍊程式設計和數學思維。以下是使用 Python 的 Turtle 模組繪製 Sierpinski Gasket 的範例程式碼：

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import turtle

def draw_triangle(vertices, color, my_turtle):
    my_turtle.fillcolor(color)
    my_turtle.up()
    my_turtle.goto(vertices[0][0], vertices[0][1])
    my_turtle.down()
    my_turtle.begin_fill()
    my_turtle.goto(vertices[1][0], vertices[1][1])
    my_turtle.goto(vertices[2][0], vertices[2][1])
    my_turtle.goto(vertices[0][0], vertices[0][1])
    my_turtle.end_fill()

def sierpinski(vertices, level, my_turtle):
    colors = ['blue','red','green','white','yellow',
              'violet','orange']
    draw_triangle(vertices, colors[level], my_turtle)
    if level > 0:
        sierpinski([vertices[0],
                    get_mid(vertices[0], vertices[1]),
                    get_mid(vertices[0], vertices[2])],
                   level-1, my_turtle)
        sierpinski([vertices[1],
                    get_mid(vertices[0], vertices[1]),
                    get_mid(vertices[1], vertices[2])],
                   level-1, my_turtle)
        sierpinski([vertices[2],
                    get_mid(vertices[2], vertices[1]),
                    get_mid(vertices[0], vertices[2])],
                   level-1, my_turtle)

def get_mid(point1, point2):
    return ((point1[0]+point2[0])/2, (point1[1]+point2[1])/2)

def main():
    my_turtle = turtle.Turtle()
    my_turtle.speed(0)
    turtle.bgcolor('black')
    vertices = [[-200, -100], [0, 200], [200, -100]]
    level = 3  # 調整迭代層數
    sierpinski(vertices, level, my_turtle)
    turtle.done()

if __name__ == '__main__':
    main()

Cpp Source Code

Graphic-programming-language CH2 : here